Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Разделив всех члены уравнения на xn и перенеся первый член в другую часть уравнения, получаем

что и требовалось доказать.◻

Следовательно, если y = 1/x = x–1, то y' = −1/x², если y = 1/x² = x–2, то y' = −2x–3 = −2/x³, и т. д.

Помните, в 7 главе мы искали такое положительное значение x, при котором функция

показала бы минимальное значение? Тогда мы нашли решение с помощью геометрии, показав, что результат может быть достигнут при x = 1. Но можно решить эту задачу значительно проще: это значит, что y' = 0, это дает нам 1 – 1/x² = 0, а единственная положительная величина, которая удовлетворяет этому условию, – x = 1.

Что касается тригонометрических функций, то их дифференцировать ничуть не сложнее. Обратите внимание, что для доказательства следующей теоремы нам нужно, чтобы углы были выражены в радианах.

Теорема: Если y = sin x, то y' = cos x, а если y = cos x, то y' = –sin x. Другими словами, производная синуса равна косинусу, а производная косинуса – синусу со знаком минус.

Доказательство: Для доказательства нам потребуется следующая лемма (лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).

Лемма:

Здесь утверждается, что значение любого угла h, равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h, в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin (A + B) из главы 9 говорит нам, что

А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. Подобным же образом

И снова h → 0 дает нам (cos x)(0) – (sin x)(1) = –sin x, что и требовалось доказать.◻

То, что можно доказать с помощью такого вот графика:

На единичной окружности, часть которой изображена выше, R = (1, 0), а P = (cos h, sin h), где h есть небольшой угол с положительным значением. В прямоугольном треугольнике OQR

Рассмотрим сектор OPR, имеющий клинообразную форму. Площадь единичной окружности равна π1² = π, сектор OPS – ее часть, выражаемая дробью h/(2π). Следовательно, площадь сектора OPR составляет π(h/2π) = h/2.

Так как сектор OPR содержит в себе треугольник OPS, а тот, в свою очередь, – треугольник OQR, сравнение их площадей дает нам

Для положительных значений a, b и c, если a < b < c, то 1/c < 1/b < 1/a. Следовательно,

А так как h → 0, и cos h, и 1/cos h будут стремиться к 1, что и требовалось доказать.

◻

С помощью полученного результата и нескольких алгебраических формул (включая cos² h + sin² h = 1) можно доказать, что

◻

Производные синуса и косинуса – ключи к дифференцированию тангенса.

Теорема: Если y = tan x, то y' = 1/(cos²x) = sec²x.

Доказательство: Предположим, что u(x) = tan x = (sin x)/(cos x). Тогда

Продифференцировав обе части и применив правило дифференцирования произведения функций, получим

Разделим все члены на cos x и решим уравнение для tan' (x):

в котором предпоследнее значение получается в результате деления тождества cos 2x + sin 2x = 1 на cos 2x.

Доказательство правила дифференцирования частного: Так как u(x)g(x) = f(x), продифференцировав обе части уравнения, в соответствии с правилом дифференцирования произведения получим

Умножив все на g(x), получим

Заменим g(x) u(x) на f(x) и решим уравнение для u'(x), что приведет нас к искомому результату.◻

Теперь мы умеем дифференцировать многочлены, показательные и тригонометрические функции. Также мы научились дифференцировать их суммы, произведения и частные. Но есть еще сложные функции – функции от функций, с которыми тоже нужно уметь обращаться. Правило дифференцирования сложной функции иначе называют цепным правилом. Согласно ему, например, если f(x) = sin x, а g(x) = x³, то

Не перепутайте: это не то же самое, что

Теорема (цепное правило): Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x))g'(x).

Например, если f(x) = sin x, а g(x) = x³, то f'(x) = cos x, а g'(x) = 3x². Согласно цепному правилу, при y = f(g(x)) = sin (x³)

Обобщая, можно сказать, что при y = sin (g(x)) y' = g'(x) cos(g(x)). Та же логика подсказывает нам, что y = cos (g(x)) имеет производную y' = –g'(x) sin (g(x)).

С другой стороны, функция y' = –g'(x) sin (g(x)), согласно цепному правилу, выглядит так:

Обобщим и это: цепное правило говорит нам, что при y = (g(x))n y' = n(g(x))n–1g'(x). А что насчет y = (x3)5?