Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

То же можно представить и геометрически. Начнем с прямоугольника с длинами сторон 1 и 2 и площадью 2. Разделим его пополам, потом еще раз и еще – и так до бесконечности. Площадь первого сектора будет равна 1, второго – 1/2, третьего – 1/4 и так далее. Даже когда мы будем делить на n, стремящееся к бесконечности, мы не выйдем за пределы начального прямоугольника, а площади всех его секторов в сумме будут по-прежнему равны 2.

Алгебра позволяет нам подойти к решению задачи с точки зрения частичных, промежуточных сумм:

Эта закономерность подсказывает нам, что при n ≥ 0

Доказать это можно либо с помощью метода индукции (см. главу 6), либо как частный случай формулы конечного геометрического ряда.

Теорема (конечный геометрический ряд): При x ≠ 1 и n ≥ 0

Доказательство 1 (метод индукции): При n = 0 формула говорит нам, что  что, конечно же, верно. Предположим теперь, что n = k, то есть наша формула превращается в

Она отлично работает и при n = k + 1, поэтому, добавив к обеим сторонам xk+1, мы получим

что и требовалось доказать.◻

А что, если мы немного схитрим, прибегнем к алгебре «со сдвигом»?

Доказательство 2: Предположим, что

Умножим обе стороны на x:

Вычтем xS и, проведя ряд упрощений, получим

Другими словами, S(1 − x) = 1 − xn + 1, то есть

что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что при x = 1/2 конечный геометрический ряд подтверждает выведенную нами ранее закономерность:

Чем больше n, тем ближе (1/2)n будет к 0. Следовательно, при n → ∞, у нас получится

На этот счет, кстати, есть одна шутка, понять которую сможет только математик. Бесконечное количество математиков заходит в бар. Первый заказывает полный бокал пива, второй – половину бокала, третий – четверть, четвертый – одну восьмую… Наконец, бармен не выдерживает и, воскликнув «Нет, ну есть же этому какой-то предел!», наливает им на всех две полные кружки.

Обобщая, можно сказать, что любое число в интервале от –1 до 1, возводимое во все бо́льшую и бо́льшую степень, все ближе и ближе подходит к нулю. В результате мы имеем крайне важный и полезный (бесконечный) геометрический ряд.

Теорема (геометрический ряд): При –1 < x < 1

Чтобы решить нашу последнюю задачу, примем x = 1/2:

Выглядит знакомо, не правда ли? Это потому что мы уже встречались с подобным рядом – в самом конце главы 11, когда с помощью исчисления старались показать, что функция y = 1/(1 – x) соответствует ряду Тейлора 1 + x + x2 + x3 + x4 +….

А что еще мы можем «выжать» из этого ряда? Как насчет следующей суммы?

Если вынести за скобки дробь 1/4, убрав ее из каждого члена, получится

то есть при x = 1/4 мы можем упростить ряд до

Доказать это можно практически без слов – просто посмотрите на рисунок ниже и обратите внимание, что закрашенные квадраты занимают ровно треть общей площади большого квадрата.

Геометрический ряд можно использовать также для доказательства нашей задачи с 0,99999…, ведь бесконечное количество знаков после запятой есть не что иное, как замаскированный бесконечный ряд. Просто примем x = 1/10 и получим

Формула геометрического ряда верна и тогда, когда х – комплексное число, при условии, что длина x – меньше 1. Например, мнимое число i/2 имеет длину 1/2, из чего следует, что

что показано на следующем графике, расположенном на комплексной плоскости.

И хотя формула конечного геометрического ряда верна для любого значения x ≠ 1, (бесконечный) геометрический ряд требует, чтобы |x| был меньше 1. Например, при x = 2 конечный геометрический ряд покажет нам (как мы уже выяснили в шестой главе), что

а бесконечный – что

что выглядит нелепо (хотя это впечатление может быть и обманчивым: в предпоследнем разделе этой главы мы увидим вполне правдоподобное объяснение такого результата).

Число положительных целых величин бесконечно:

Равно как бесконечно и количество положительных четных целых величин:

Считается, что первое множество (или число элементов, или степень бесконечности) приблизительно равно первому. В пользу этого утверждения говорит тот факт, что положительные целые и положительные четные целые можно объединить в пары, вот так:

Множество, способное к объединению в пары, называется счетным. Степень бесконечности у него, как правило, невелика. Любое множество, величины которого можно перечислить, является счетным, так как первый его элемент есть пара к 1, второй – к 2 и т. д. Множество всех целых величин

перечислить от меньшего значения к большему не получится просто потому, что нет никакого «стартового» наименьшего значения. Зато получится перечислить их вот так:

Следовательно, множество всех целых является счетным, а число его элементов равно числу элементов в множестве положительных целых.

А что насчет множества положительных рациональных величин? Напомню: рациональными называются числа, имеющие форму m/n, где и m, и n суть положительные целые. Хотите – верьте, хотите – нет, но и это множество будет счетным. Перечислить его элементы можно следующим образом:

то есть мы берем дроби в соответствии с суммой их числителей и знаменателей. Так как любая рациональная величина неизбежно появляется в списке, их множество будет счетным.

А существуют ли вообще такие бесконечные множества, которые не являются счетными? Немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) доказал, что все действительные величины, даже только те из них, что ограничены диапазоном от 0 до 1, образуют несчетное множество. Можно, конечно, попробовать перечислить их следующим образом:

и т. д. Но так мы никогда не выйдем за пределы величин с конечным количеством знаков. Число 1/3 = 0,333…, например, в нашем списке так и не встретится. Но, может, есть какой-нибудь другой, более эффективный способ перечисления? Кантор доказал, что его нет. Он пошел от обратного – предположил, что множество действительных величин является счетным. Он взял конкретный пример и начал с

Доказать, что этот список не будет полным, можно, «придумав» такое действительное число, которое никогда в нем не появится. Можно взять, скажем, величину 0,r1r2r3r4…, где r1 есть целое в интервале от 0 до 9, которое отличается от первого числа только первой цифрой (в нашем примере r1 ≠ 3). Так же обстоит и с r2: оно отличается от второго числа второй цифрой (у нас r2 ≠ 7). И так далее. Таким образом у нас может получиться, скажем, 0,2674… – число, которое никогда не появится в списке, даже на миллионной позиции, потому что будет отличаться от нее миллионной цифрой. А значит, какой бы список вы ни создавали, всегда будут такие величины, которые в нем не появятся, следовательно, множество действительных чисел является несчетным.